6.1 特征值和特征向量

• 定义：令A为一nXn矩阵，如果存在一个非零向量x使得$Ax=\lambda x$，则称标量$\lambda$为特征值，称向量x为属于$\lambda$的特征向量

复特征值

特征值的乘积与和

相似矩阵

• 定理：令A和B为nXn矩阵，若B和A相似，则这两个矩阵有相同的特征多项式，且相应地它们有相同的特征值

6.2 线性微分方程组

复特征值

高阶方程组

6.3 对角化

• 定理：若$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$为一个nXn的矩阵A的不同特征值，相应的特征向量为$x_1,x_2,\cdots,x_k$，则$x_1,\cdots,x_k$线性无关
• 定义：若存在一个非奇异的矩阵X和一个对角矩阵D，使得nXn矩阵A满足

$$X^{-1}AX=D$$

则称A为可对角化的，称X将A对角化

• 定理：一个nXn矩阵A是可对角化的，当且仅当A有n个线性无关的也在向量

矩阵指数

6.3 埃尔米特矩阵

复内积

• 定义：令V为一复数域上的向量空间，V上的内积是一个关联V中的任意一对向量z和w的复数<z,w>，它满足如下条件：
  1. $<z,z> \geqslant 0$，等号成立的充要条件为z=0
  2. $<z,w>=\overline{<w,z>}$对V中所有的z和w成立
  3. $<\alpha z+\beta w,u>=\alpha<z,u>+\beta<w,u>$

埃尔米特矩阵

• 定义：若一个矩阵M满足$M=M^H$，则称它为埃尔米特矩阵
• 定理：埃尔米特矩阵的特征值均为实的，此外，属于不同特征值的特征向量是正交的
• 定义：若一个nXn的矩阵U的列向量构成了$C^n$中的一个规范正交集，则称其为酉矩阵
• 推理：若埃尔米特矩阵A的特征值互不相同，则存在一个酉矩阵U对角化A
• 定理（舒尔定理）：对每一个nXn矩阵A，存在一个酉矩阵U，使得$U^HAU$为上三角的
• 定理（谱定理）：若A为埃尔米特矩阵，则存在一个酉矩阵U对角化A

实舒尔分解

• 定义：称$R^n$的子空间S在矩阵A下保持不变，若对每个$x \in S，有Ax \in S$
• 引理：设A为一实nXn矩阵，其特征值$\lambda_1=a+bi$（其中a和b为实数且$b \neq 0$），并设$z_1=x+iy$（其中x和y为$R^n$中的向量）是属于$\lambda_1$的特征向量，若$S=Span(x,y)$，则dim S=2且S在A下保持不变
• 定理（实舒尔分解定理）：若A是一nXn实矩阵，则A可以分解为乘积$QTQ^T$，其中Q是一正交矩阵，T是舒尔型（2）中的矩阵
• 推论（谱定理——实对称矩阵）：若A是一实对称矩阵，则存在一个正交矩阵Q对角化A，即$Q^TAQ=D$，其中D是对角的

正规矩阵

• 定义：一个矩阵A若满足$AA^H=A^HA$，则称为正规矩阵
• 定理：一个矩阵A是正规矩阵，当且仅当A有一个完备的规范正交的特征向量集

6.5 奇异值分解

• 定理（SVD定理）：若A为一个mXn矩阵，则A有一个奇异值分解

6.6 二次型

• 定义：一个二次方程为两个变量x和y的方程

$$ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \ \ \ (1)$$

方程(1)可写为

$$[x\ \ y] \begin{bmatrix} a & d\\\\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix}+[d \ \ \ e]\begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix}+f=0$$

令

$$x=\begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix}和A=\begin{bmatrix} a & d\\\\ b & c \end{bmatrix}$$

则

$$x^TAx=ax^2+2bxy+cy^2$$

称为与(1)相关的二次型

圆锥曲线

• 定理（主轴定理）：若A为一实对称的nXn矩阵，则存在以恶搞变量变换$u=Q^Tx$，使得$x^TAx=u^TDu$，其中D为一对角矩阵

最优化：微积分中的一个应用

• 定义：令F(x)为$R^n$上的一个实值向量函数。若在$R^n$中一个点$x_0$处，F的所有一阶偏导数均存在且等于零，则$x_0$称为F的驻点

• 定义：若x为$R^n$中取遍所有非零向量时，一个二次型$f(x)=x^TAx$仅取一个符号，则称其为定的，若对$R^n$中的所有非零x，$x^TAx > 0$，则称该二次型为正定的，若对$R^n$中所有非零x，$x^TAx<0$，则称该二次型为负定的，若一个二次型取不同的符号，则称它为不定的，若$f(x)=x^TAx \geqslant 0$，且假定对某$x \neq 0$，其值为0，则f(x)称为半正定的，若$f(x) \leqslant 0$，且假定对某$x \neq 0$，其值为0，则$f(x)$称为半负定的

• 定义：一个实对称矩阵A称为

  1. 正定的，若对$R^n$中所有非零x，$x^TAx >0$
  2. 负定的，若对$R^n$中所有非零x，$x^TAx <0$
  3. 半正定的，若对$R^n$中所有非零x，$x^TAx \geqslant 0$
  4. 半负定的，若对$R^n$中所有非零x，$x^TAx \leqslant 0$
  5. 不定的，若$x^TAx <0$的取值有不同的符号

• 定理：若A为一nXn实对称矩阵，则A是正定的，当且仅当其所有的特征值是正的

6.7 正定矩阵

• 性质I：若A为一对称正定矩阵，则A为非奇异的
• 性质II：若A为一对称矩阵，则$det(A)>0$
• 性质III：若A为一对称正定矩阵，则A的前主子矩阵$A_1,A_2,\cdots,A_n$均为正定的
• 性质IV：若A为一对称正定矩阵，则A可仅使用行运算III化为上三角矩阵，且主元将全为正的
• 性质V：若A为一对称正定矩阵，则A可分解为一个乘积$LDL^T$，其中L为下三角的，其对角线上的元素全为1，且D为一个对角矩阵，其对角元素均匀为正的
• 性质VI（楚列斯基分解）：若A为一对称正定矩阵，则A可分解为一个乘积$LL^T$，其中L为下三角的，其对角线元素均为中正的
• 定理：令A为一nXn对称矩阵，下面的命题是等价的
  1. A为正定的
  2. 前主子矩阵$A_1,\cdots,A_n$均为正定的
  3. A可仅使用行运算III化为上三角的，且主元将全为正的
  4. A有一个楚列基分解$LL^T$
  5. A可以分解为一个乘积$B^TB$，其中B为某非奇异矩阵

6.8 非负矩阵

• 定理：一个nXn实矩阵A，若对每一i和j，$a_{ij} \geqslant 0$，则称为非负的，若对每一i和j，$a_{ij} >0$，则称为正的
• 定理：若A为一正的nXn矩阵，则A有一个正的实特征值r，它具有如下性质：
  1. r为特征方程的一个单根
  2. r有一个正的特征向量x
  3. 若$\lambda$是A的任意其它特征值，则$|\lambda| < r$
• 定义：一个非负矩阵A，若可将下标集$\{1,2,\cdots,n \}$划分为非空不交集合$I_1和 I_2$，使得当$i \in I_1 且 j \in I_2$时，$a_{ij}=0$，则称其为可约的，否则，A称为不可约的