2.1 矩阵的行列式

标量

• 对每一nXn的矩阵A，均可对应一个标量det(A)

记号

• 我们用两条竖线间包括的阵列表示给定矩阵的行列式，例如,若

$$A=\begin{bmatrix} 3 & 4 \\\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$$

则

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\\\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$

定义

• 令$A=(a_{ij})$为一个nXn矩阵，并用$M_{ij}$表示删除A中包含$a_{ij}$的行和列得到的(n-1)X(n-1)矩阵。矩阵$M_{ij}$的行列式称为子式，定义$a_{ij}$的余子式$A_{ij}$为

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}det(M_{ij})$$

• 一个nXn矩阵A的行列式，记为det(A),是一个与矩阵A对应的标量，它可如下递归定义

$$det(A)=\begin{cases} a_{11} & 当n=1时 \\ a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdot\cdot\cdot+a_{1n}A_{1n} & 当n>1时 \\ \end{cases}$$

其中

$$A_{1j}=(-1)^{1+j}det(M_{1j}),j=1,\cdot\cdot\cdot,n$$

为A第一行元素对应的余子式

定理

• 设A为一nXn矩阵，其中$n\geqslant2$，则det(A)可表示为A的任何行或列的余子式展开，即

$$det(A)=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdot\cdot\cdot+a_{in}A_{in}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdot\cdot\cdot+a_{nj}A_{nj}$$

其中$i=1,\cdot\cdot\cdot,n$，且$j=1,\cdot\cdot\cdot,n$

• 设A为一nXn矩阵，则$det(A^T)=det(A)$
• 设A为一nXn三角形矩阵，则A的行列式等于A的对角元素的乘积
• 令A为一个nXn矩阵
  1. 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0
  2. 若A有两行或者两列相等，则 dat(A)=0

2.2 行列式的性质

引理

• 令A为一nxn的矩阵，若$A_{jk}$表示$a_{jk}$的余子式，其中$k=1,\cdot\cdot\cdot,n$，则

$$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdot\cdot\cdot+a_{in}A_{jn}=\begin{cases} det(A) & 当i=j时 \\ 0 & 当i \neq j时 \end{cases}$$

运算

• 行运算I（交换A的两行）：对任意第I类初等矩阵E，$det(EA)=-det(A)=det(E)det(A)$
• 行运算II（A的某一行乘以一个非零常数）：令E为第II类初等矩阵，$det(EA)=αdet(A)=det(E)det(A)$
• 行运算III（有一行的倍数加到其它行）：令E为第III类初等矩阵，$det(EA)=det(A)=det(E)det(A)$

定理

• 一个nXn的矩阵A是奇异的充要条件为，$det(A)=0$
• 若A和B均为nXn的矩阵，则$det(AB)=det(A)det(B)$

2.3 附加主题和应用

矩阵的伴随

$$A^{-1}=(\frac{1}{det(A)}adj A) = I$$

克拉默法则

• 令A为一nXn非奇异矩阵，并令$b \in R^n$。令$A_{i}$为将矩阵A中的第i列用b替换得到的矩阵，若x为方程组Ax=b的唯一解，则

$$x{i}=\frac{det(A_{i})}{det(A)},i=1,2,\cdot\cdot\cdot,n$$

向量积