1.1 线性方程组

等价方程组

• 定义：若两个含有相同变量的方程组具有相同的解集，则称它们是等价的
• 判定:

1. 交换任意两个方程的顺序
2. 任一方程两边同乘一个非零的实数
3. 任一方程的倍数加到另外一个方程上

n X n方程组

• 定义：若方程组中，第k个方程的前k-1个变量的系数均为零，且$x_{k}(k=1, \cdot \cdot \cdot ), n)$的系数不为零，则称该方程组为严格三角形的

初等行运算

• I.交换两行
• II.以非零实数乘以某行
• III.将某行替换为它与其它行的倍数的和

练习总结：

• nXn矩阵的线性方程组可以化简为严格三角形式，则它将有一个唯一解

1.2 行阶梯形

行阶梯形矩阵

• 定义：若一个矩阵满足以下条件，则称其为行阶梯形矩阵

1. 每一非零行中的第一个非零元为1
2. 第k行的元不全为零时，第k+1行首变量之前零的个数多于第k行首变量之前零的个数
3. 所有元素均为零的行必在不全为零的行之后

高斯消元法

• 定义：利用行运算I，II和III，将线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形的过程称为高斯消元法

超定方程组

• 定义：若一个线性方程组中方程的个数多于未知量的个数，则称其为超定的，超定方程组通常是(但不总是)不相容的

亚定方程组

• 定义：一个有n个未知量m个线性方程的方程组称为亚定的

行最简形

• 定义：若一个矩阵满足以下条件，则称该矩阵为行最简形

1. 矩阵是行阶梯形的
2. 每一行的第一个非零元是该列唯一的非零元

齐次方程组

• 定义：如果线性方程组的右端项全为零，则称其为齐次的
• 定理：若n>m，则mXn的齐次线性方程组有非平凡解

1.3矩阵算术

矩阵记号

$A=(a_{ij})$

向量

相等

• 定义: 若两个mXn矩阵A和B对任一i和j均满足$a_{ij}=b_{ij}$,则称它们相等

标量乘法

• 定义：设A为mXn的矩阵，且α为一标量，且αA为一mXn的矩阵，其(i，j)元素$αa_{ij}$

矩阵加法

• 定义：设$A=a_{ij}$及$B=b_{ij}$都是mXn矩阵，则它们的和A+B也为一个mxn的矩阵，对每一个有序对(i,j)，它的(i,j)元素为$a_{ij}+b_{ij}$

矩阵乘法及线性方程组

• 定义：若$a_{1},a_{2},\cdot \cdot \cdot,a_{n}$为R^{m}中的向量，且$c_{1},c_{2},\cdot \cdot \cdot,c_{n}$为标量，则和式$a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+\cdot \cdot \cdot+a_{n}c_{n}$称为向量$a_{1},a_{2},\cdot \cdot \cdot ),a_{n}$的一个线性组合
• 定理：（线性方程组的相容性定理）一个线性方程组Ax=b相容的充要条件式向量b可写为矩阵A列向量的一个线性组合

矩阵乘法

• 定义：若$A=a_{ij}$为一个mXn的矩阵，且$B=b_{ij}$为一个nXr的矩阵，则乘积$AB=C=(c_{ij})$为一个mXr的矩阵，它的元素定义为$c_{ij}=\vec{a_{i}}b_{j}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$

符号规则

矩阵的转置

• 定义：一个mXn矩阵A的转置为nXm矩阵B，定义为$b_{ji}=a_{ij}$
• A的转置记为$A^{T}$
• 定义：一个nXn和矩阵A，若满足$A^{T}=A$，则称为对称的

1.4矩阵代数

代数法制

• 定理：在定义了需要的运算后，下述法则对任何标量α和β及矩阵A，B和C都成立

1. A+B=B+A
2. (A+B)+C=A+(B+C)
3. (AB)C=A(BC)
4. A(B+C)=AB+BC
5. (A+B)C=AC+BC
6. (αβ)A=α(βA)
7. α(AB)=(αA)B=A(αB)
8. (α+β)A=αA+βA
9. α(A+B)=αA+αB

单位矩阵

• 定义：nXn的单位矩阵为矩阵$I=(\delta_{ij})$,其中

$$\delta_{ij}=\begin{cases} 1 & 当i=j时 \\ 0 & 当i \neq j 时 \\ \end{cases}$$

矩阵的逆

• 定义：若存在一个矩阵B使得AB=BA=I，则称nXn矩阵A为非奇异的或可逆的，矩阵B称为A的乘法逆元
• 定义：一个nXn矩阵若不存在乘法逆元，则称为奇异的
• 定理：若A和B为非奇异的nXn矩阵，则AB也为非奇异，且$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

转置的代数法则

1)$(A^{T})^{T}=A$ 2)$(αA)^{T}=αA^{T}$ 3)$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$ 4)$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

对称矩阵和网络

• 定理：设A为某图的nXn邻接矩阵，且$a_{ij}^{(k)}$表示$A^k$的(i，j)元素，则$a_{ij}^{(k)}$等于顶点$V_i$和$V_j$间长度为k的路的条数

1.5初等矩阵

等价方程组

初等矩阵

• 如果从单位矩阵I开始，只进行一次初等运算，得到的矩阵称为初等矩阵
• 定理：若E为一初等矩阵，则E是非奇异的，且$E^-1$为一与它同类型的初等矩阵
• 定义：若存在一个有限初等矩阵的序列$E_{1},E_{2},E_{3},\cdot \cdot \cdot,E_{k}$使得$B=E_{k}E_{k-1}\cdot \cdot \cdot E_{1}A$则称A与B为行等价的
• 定理：(非奇异矩阵的等价条件) 令A为一nXn矩阵，则下列命题是等价的：
  1. A是非奇异的
  2. Ax=0仅有平凡解0
  3. A与I行等价
• 推论：当且仅当A非奇异时，n个未知量n个方程的线性方程组Ax=b有唯一解

对角矩阵和三角形矩阵

1.6分块矩阵

分块乘法

外积展开