4.1 定义和例子

• 定义：一个向量空间V映射到向量空间W的映射L，如果对所有的$v_1,v_2 \in V$及所有的标量α和β，$L(αv_1+βv_2)=αL(v_1)+βL(v_2)$ 则称其为线性变换
• 记号：一个从向量空间V到向量空间W的映射L记为$L:V \rightarrow W$

$R^2$上的线性算子

$R^n$到$R^m$的线性变换

从V到W的线性变换

象与核

• 定义：令$L:V \rightarrow W$为一线性变换，L的核记为ker(L)，定义为$ker(L)=\{v \in V | L(v) = 0_w\}$
• 定义：令$L:V \rightarrow W$为一线性变换，并令S为V的一个子空间，S的象记为L(S)，定义为$L(S)=\{ w \in S | w=L(v),对某个v \in S \}$
• 定理：若$L:V \rightarrow W$为一线性变换，且S为V的子空间，则
  1. ker(L)为V的一个子空间
  2. L(S)为W的一个子空间

4.2 线性变换的矩阵表示

• 定理：若L为一从$R^n$到$R^m$的线性变换，则存在一个mXn的矩阵A，使得对每一$x \in R^n$，有

$$L(x)=Ax$$

事实上，A的第j个列向量为

$$a_j=L(e_i) j=1,2,\cdots,n$$

• 定理（矩阵表示定理）：若$E=[v_1,v_2,\cdots,v_n]$和$F=[w_1,w_2,\cdots,w_n]$分别为向量空间V和W的有序基，则对每一线性变换$L:V \rightarrow W$，存在一个mXn矩阵A，使得对每一$v \in V$，有

$$[^{L(v)}]F = A_{[^v]E}$$

A称为L相应于有序基E和F的表示矩阵，事实上

$$a_j=[^{L(v_j)}]F ,j=1,2,\cdots,n$$

• 定理：令$E=[u_1,\cdots,u_n]及F=[b_1,\cdots,b_m]$分别为$R^n和R^m$的有序基，若$L:R^n \rightarrow R^m$为一线性变换，且A为L相应于E和F表示矩阵，则

$$a_j=B^{-1}L(u_j),k=1,\cdots,n$$

其中$B=(b_1,\cdots,b_m)$

• 推论：若A为线性变换$L:R^n \rightarrow R^m$相应于基$E=[u_1,\cdots,u_n]和F=[b_1,\cdots,b_m]$的表示矩阵，则$（b_1,\cdots,b_m|L(u_1),\cdots,L(u_n)$的行最间形为(I|A)

齐次坐标

4.3 相似性

• 定理：令$E=[v_1,\cdots,v_n]$及$F=[w_1,\cdots,w_m]$为一向量空间V的两个有序基，并令L为V上的线性算子，令S为从F到E的转移表示矩阵，若A为L相应于E的表示矩阵，且B为L相应于F的表示矩阵，则$B=S^{-1}AS$

• 定义：令A和B为nXn的矩阵，如果存在一个非奇异矩阵S，使得$B=S^{-1}AS$，则称B相似于A