3.1 定义和例子

欧几里得向量空间

向量空间 $R^{mXn}$

向量空间的公理

• 定义：令V为一定义了加法和标量乘法运算的集合，这意味着，对V中的每一对元素x和y，可唯一对应于V中的一个元素x+y，且对每一个V中的元素x和每一个标量α，可唯一对应于V中的元素αx，如果集合V连同其上的加法和标量乘法运算满足下面的公理，则称为向量空间。
  1. A1.对V中的任何x和y，x+y=y+x
  2. A2.对V中的仍和x，y和z，(x+y)+z=x+(y+z)
  3. A3.V中存在一个元素0，满足对任意的$x \in V$有x+0=x
  4. A4.对每一$x \in V$，存在V中的一个元素-x，满足x+(-x)=0
  5. A5.对任意标量α和V中的元素x和y，有α(x+y)=αx+αy
  6. A6.对任意标量α和β及$x \in V$，有(α+β)x=αx+βx
  7. A7.对任意标量α和β及$x \in V$，有(αβ)x=α(βx)
  8. A8.对所以$x \in V$，有$1 \cdot x=x$

向量空间$C[a,b]$

向量空间$P_n$

向量空间的其它性质

• 定理：若V为向量空间，且x为V的任一元素，则
  1. 0x=0
  2. x+y=0蕴涵y=-x
  3. (-1)x=-x

3.2 子空间

• 定义：若S为向量空间V的非空子集，且S满足如下条件，则S称为V的子空间
  1. 对任意标量α，若$x \in S$，则$αx \in S$
  2. 若$x \in S$且$y \in S$，则$x+y \in S$

矩阵的零空间

向量结婚的张成

• 定义：令$v_1,v_2,\cdot \cdot\cdot,v_n$为向量空间V中的向量。$α_1v_1+α_2v_2+\cdot\cdot\cdot+α_nv_n$(其中$a_1,a_2,\cdot\cdot\cdot,a_n$为标量)称为向量$v_1,v_2,\cdot\cdot\cdot,v_n$的线性组合，向量$v_1,v_2,\cdot\cdot\cdot,v_n$的所有线性组合构成的集合称为$v_1,v_2,\cdot\cdot\cdot,v_n$的张成，向量$v_1,v_2,\cdot\cdot\cdot,v_n$的张成记为$Span(v_1,\cdot\cdot\cdot,v_n)$
• 定理：若$v_1,v_2,\cdot\cdot\cdot,v_n$为向量空间V中的元素，则$Span(v_1,\cdot\cdot\cdot,v_n)$为V的一个子空间

向量空间的张集

• 定义：${v_1,\cdot\cdot\cdot,v_n}$是V的一个张集的充要条件为V中的每个向量都可写为$v_1,v_2,\cdot\cdot\cdot,v_n$的一个线性组合

回顾线性代数方程组

• 定理：若线性方程组Ax=b是相容的，$x_0$为它的一个特解，则则向量y也为其解的充要条件$y=x_0+z$，其中$z \in N(A)$

3.3 线性无关

• 定义：如果向量空间V中的向量$v_1,v_2,\cdot\cdot\cdot,v_n$满足$c_1v_1+c_2v_2+\cdot\cdot\cdot+c_nv_n=0$，就可推出所有标量$c_1,\cdot\cdot\cdot,c_n$必为0，则称它们为线性无关的。
• 定义：如果存在不全为零的标量$c_1,\cdot\cdot\cdot,c_n$，使得向量空间V中的向量$v_1,v_2,\cdot\cdot\cdot,v_n$满足$c_1v_1+c_2v_2+\cdot\cdot\cdot+c_nv_n=0$则称它们为线性相关的

几何解释

定理和例子

• 定理：令$x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n为R_n$中的n个向量，并令$X=(x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n)$，向量$x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n$线性相关的充要条件是X为奇异的.
• 定理：令$v_1,\cdot\cdot\cdot,v_n$为向量空间V中的向量，当且仅当$v_1,\cdot\cdot\cdot,v_n$线性无关时，$Span(v_1,\cdot\cdot\cdot,v_n)$中的任一向量v才可唯一地用向量$v_1,\cdot\cdot\cdot,v_n$的线性组合表示

函数的向量空间

向量空间$P_n$

向量空间$C^{(n-1)}[a,b]$

• 定义：令$f_1,f_2,\cdot\cdot\cdot,f_n$为$C^{(n-1)}[a,b]$中的函数，定义[a,b]上的函数$W[f_1,f_2,\cdot\cdot\cdot,f_n] (x)$为

$$W[f_1,f_2,\cdot\cdot\cdot,f_n] (x)=\begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\\\ f_1^{1}(x) & f_2^{1}(x) & \cdots & f_n^{1}(x) \\\\ \vdots & & & \\\\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix}$$

函数$W[f_1,f_2,\cdot\cdot\cdot,f_n] (x)$称为$f_1,f_2,\cdots,f_n$的朗斯基行列式

• 定理：令$f_1,f_2,\cdots,f_n$为$C^{(n-1)}[a,b]$的元素，若在[a,b]中存在一个点$x_0$使得$W[f_1,f_2,\cdot\cdot\cdot,f_n] (x_0) \neq 0$,则$f_1,f_2,\cdots,f_n$线性无关

3.4 基和维数

• 定义：当且仅当向量空间V中的向量$v_1,v_2,\cdots,v_n$满足下列条件时，称它们为向量空V的基

  1. $v_1,\cdots,v_n$线性无关
  2. $v_1,\cdots,v_n$张成V

• 定理：若${v_1,v_2,\cdots,v_n}$为向量空间V的一个张集，则V中的任何m个向量必线性相关，其中m>n

• 推论：若${v_1,v_2,\cdots,v_n}$和${u_1,u_2,\cdots,u_n}$均为向量空间V的基，则n=m

• 定义：令V为一向量空间，若V的一组基含有n个向量，我们称V的维数为n，V的子空间{0}的位数为0，如果有有限多个向量张成V，则称V是有限维的，否则，称V是无限维的。

• 定理：若V的维数n>0的向量空间，则：

  1. 任意n个线性无关的向量张成V
  2. 任何张成V的n个向量是线性无关的

• 定理：若V的维数n>0的向量空间，则：

  1. 没有少于n个的向量构成的集合可以张成V
  2. 任何少于n个的线性无关向量构成的子集可以拓展为V的一组基
  3. 任何多于n个向量的张集均可通过删除其中的向量得到V的一组基

标准基

3.5 基变换

$R^2$中的坐标变换

坐标变换

一般向量空间的基变换

• 定义：令V为一向量空间，且令$E=[v_1,v_2,\cdots,v_n]$为V的一组有序基，若v为V中的任一元素，则v可写为

$$v=c_1v_1,c_2v_2,\cdots,c_nv_n$$

其中$c_1,c_2,\cdots,c_n$为标量，因此可以将每一个向量v唯一对应于$R^n$中的一个向量$c=(c_1,c_2,\cdots,c_n)^T$，采用这种方式定义的向量c称为v相应于有序基E的坐标向量，并记为$[v]_E$，$c_i$称为v相对于E的坐标

3.6 行空间和列空间

• 定义：如果A为一mXn矩阵，由A的行向量张成的$R^{1xn}$的子空间称为A的行空间，由A的各列张成的$R^m$的子空间称为A的列空间
• 定理：两个行等价的矩阵有相同的行空间
• 定义：A的行空间的维数称为矩阵A的秩

线性方程组

• 定理（线性方程组的相容性定理）：一个线性方程组Ax=b相容的充要条件是b在A的列空间中
• 定理：令A为一个mXn矩阵，当且仅当A的列向量线性无关时，对每一$b \in R^m$，方程组Ax=b至多有一个解
• 推论：当且仅当一个nXn矩阵A的列向量为$R^n$的一组基时，A是非奇异的。
• 定理（秩-零定理）：若A为一mXn矩阵，则A的秩与A的零度的和为n

列空间

• 定理：若A为一mXn的矩阵，则A的行空间的维数等于A的列空间的维数